Dompter l'aléatoire

Les systèmes que nous sommes amenés à étudier en sciences peuvent être de deux natures : déterministe ou aléatoire.

Un système déterministe évolue de façon tout à fait prévisible. Si nous connaissons l'état du système à un instant \(t_0\), ainsi que sa loi d'évolution, nous pouvons calculer l'état dans lequel sera le système à un instant \(t\) futur (\(t>t_0\)). La loi d'évolution d'un système déterministe prend souvent la forme d'une équation différentielle.

Pour un système aléatoire, c'est différent. La connaissance de l'état du système à un instant \(t_0\) ne permet pas de calculer l'état dans lequel sera le système à instant \(t\) futur. Tout ce que nous pouvons obtenir est une collection d'états envisageables. Chaque état envisageable est pondéré d'un nombre compris entre 0 et 1. Ce nombre correspond aux chances que le système a de se retrouver dans cet état. Ce coefficient de pondération de l'état est la probabilité que l'état advienne. Nous pouvons assimiler la loi d'évolution d'un système aléatoire à une collection de couples état-probabilité.

Prenons l'exemple du jet d'une pièce équilibrée pour le jeu Pile-ou-Face. Nous jetons la pièce et obtenons Pile. L'état de la pièce est Pile. A partir de ce résultat, nous ne pouvons pas connaître le prochain état de la pièce, c'est-à-dire le résultat du prochain lancer. En revanche, nous savons que le résultat sera soit Pile soit Face. Chacun de ces résultats est pondéré par sa probabilité d'apparition. Ici \(\frac{1}2\) pour Pile et \(\frac{1}2\) pour Face.

Le cadre théorique

Nous avons l'intuition de ce que nous voulons étudier : les phénomènes aléatoires ; mais encore faut-il définir notre objet d'étude de façon rigoureuse. Définissons alors une expérience aléatoire. Une expérience aléatoire est une expérience faisant intervenir le hasard. Si nous répétons l'expérience plusieurs fois avec les mêmes conditions initiales, rien ne garantit que nous obtenions le même résultat.

Pour construire une théorie permettant d'étudier les expériences aléatoires, il nous faut un cadre sur lequel se basera l'étude théorique que nous ferons de l'expérience.

L'univers

Comme nous l'avons dit, nous ne savons pas quel résultat sortira, mais nous savons quelles sont les possibilités. Commençons par là. Nous appelons les possibilités les issues de l'expérience aléatoire. L'ensemble des issues est appelé univers. L'univers se note \(\Omega\) - se lit omega. Par exemple, pour le jet d'un dé à \(6\) faces, les issues possibles sont \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) et \(6\). L'univers est alors Nous avons réussi à formaliser les issues possibles d'une expérience aléatoire avec l'univers. Est-ce suffisant ?

Supposons que l'on vous propose un jeu. Ce jeu consiste en un jet de dé à \(6\) faces. Si vous tombez sur \(1\), \(2\) ou \(3\) vous perdez. Si vous tombez sur \(4\), \(5\) ou \(6\) vous gagnez. Si vous tombez sur \(3\) ou \(6\) vous obtenez un bonus. Dans ce jeu, nous voyons que les issues \(1\), \(2\) et \(3\) amènent au même résultat : la défaite. Les issues \(4\), \(5\) et \(6\) amènent elles aussi au même résultat : la victoire. Et les issues \(3\) et \(6\) permettent d'obtenir le bonus. Dans cette situation, peu importe de tomber sur \(4\), \(5\) ou \(6\), puisque les trois nous conviennent. De la même façon, peu importe de tomber sur \(1\), \(2\) ou \(3\) car les trois nous font perdre. Il y a beau avoir six issues possibles, in fine, il n'y a que trois évènements qui nous intéressent : Victoire, que nous notons \(\mathrm{V}\), Défaite, que nous notons \(\mathrm{D}\) et Bonus que nous notons \(\mathrm{B}\). L'évènement \(\mathrm{D}\) est réalisé par les issues \(1\), \(2\), \(3\). L'évènement \(\mathrm{V}\) est réalisé par les issues \(4\), \(5\), \(6\). L'évènement \(\mathrm{B}\) est réalisé par les issues \(3\) et \(6\). Nous écrivons Mathématiquement \(\mathrm{D}\), \(\mathrm{V}\) et \(\mathrm{B}\) sont des sous-ensembles de \(\Omega\). Un ensemble \(\mathrm{E}\) est un sous-ensemble d'un ensemble \(\mathrm{F}\) si tous les éléments de \(\mathrm{E}\) sont aussi dans \(\mathrm{F}\). C'est bien le cas pour \(\mathrm{D}\). Les éléments de \(\mathrm{D}\) sont \(1\), \(2\) et \(3\), qui sont tous dans \(\Omega\). De même pour \(\mathrm{V}\) et \(\mathrm{B}\) qui sont bien des sous-ensembles de \(\Omega\).

Ce que nous cherchons à faire, c'est calculer la probabilité d'évènements. La probabilité des issues prises individuellement ne nous intéresse pas. Bien sûr, si nous avons la probabilité de chaque issue, c'est l'idéal, mais ce n'est pas toujours le cas. Il faut alors se rappeler que nous souhaitons toujours calculer la probabilité d'un évènement.

La tribu

Ajoutons un règle à notre jeu. Avant de jouer, on vous donne le choix du dé que vous allez lancer. Pour le premier dé que l'on vous propose, vous avez une probabilité \(\frac{1}4\) de tomber sur \(1\) ou \(2\) et une probabilité \(\frac{1}5\) de tomber sur \(3\). Le second dé, quant à lui, est parfaitement équilibré. Avec quel dé, est-il préférable de jouer si vous voulez gagner la partie ? si vous voulez remporter le bonus ?

Pour gagner, c'est-à-dire pour que l'évènement \(\mathrm{V}\) se réalise, vous devez tomber sur les faces \(4\), \(5\) ou \(6\) car \(\mathrm{V}=\left\lbrace4;5;6\right\rbrace\). Nous voyons ici que c'est assez simple de calculer la probabilité pour le second dé, mais un peu plus compliqué pour le premier. En effet, le second dé est parfaitement équilibré. Nous avons donc une probabilité \(\frac{1}6\) de tomber sur chaque face, donc une probabilité \(\frac{1}2\) de gagner. Nous faisons \(\frac{1}3+\frac{1}3+\frac{1}3\).

Pour le second dé, comment faire ? Pour commencer, rappelons les données. Nous avons la probabilité de tomber sur \(1\) ou \(2\). C'est-à-dire que nous avons la probabilité que l'évènement \(\left\lbrace1;2\right\rbrace\) se réalise. Cette probabilité est \(\frac{1}4\). Nous avons la probabilité de tomber sur \(3\). C'est-à-dire que nous avons la probabilité que l'évènement \(\left\lbrace3\right\rbrace\) se réalise. Cette probabilité est \(\frac{1}5\). Avec cela, comment calculer la probabilité de \(\mathrm{V}=\left\lbrace4;5;6\right\rbrace\) ? Comme vous le savez, la probabilité maximale est \(1\). Autrement dit, \(1\) est la probabilité de tomber sur la face \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) ou \(6\). C'est-à-dire que \(1\) est la probabilité de l'évènement \(\Omega\). Oui, \(\Omega\) est l'univers mais c'est aussi un évènement, car un évènement est un sous-ensemble de l'univers et \(\Omega\) est bien un sous-ensemble de \(\Omega\) - selon la définition d'un sous-ensemble. \(\Omega\) est appelé l'évènement certain. La probabilité de \(\Omega\) est \(1\), donc; et la probabilité de l'évènement \(\left\lbrace1;2\right\rbrace\) est \(\frac{1}4\). A partir de cela, nous pouvons calculer la probabilité de l'évènement \(\left\lbrace3;4;5;6\right\rbrace\). Il suffit de soustraire la probabilité de \(\left\lbrace1;2\right\rbrace\) à la probabilité de \(\Omega\), nous obteons \(1-\frac{1}4=\frac{3}4\). La probabilité de l'évènement \(\left\lbrace3;4;5;6\right\rbrace\) est \(\frac{3}4\). Aussi, nous avons la probabilité de \(\left\lbrace 3\right\rbrace\) qui est \(\frac{1}5\). De la même façon, il suffit de soustraire la probabilité de \(\left\lbrace3\right\rbrace\) à la probabilité de \(\left\lbrace3;4;5;6\right\rbrace\) pour trouver la probabilité de \(\mathrm{V}=\left\lbrace4;5;6\right\rbrace\). Pour le premier dé, la probabilité de \(\mathrm{V}\) est donc \(\frac{3}4-\frac{1}5=\frac{11}{20}\). Etant donné que la probabilité de \(\mathrm{V}\) est supérieure pour le premier dé, il est préférable de jouer avec celui-ci.

Pour l'évènement \(\mathrm{V}\), nous pouvons calculer la probabilité pour les deux dés. Mais ce n'est pas le cas pour l'évènement \(\mathrm{B}\) - remporter le bonus. En effet, la probabilité de \(\mathrm{B}\) est \(\frac{1}3\) pour le second dé. Nous faisons \(\frac{1}6+\frac{1}6\). Mais, pous le premier dé, nous ne pouvons avoir qu'une majoration de la probabilité de \(\mathrm{B}\). En effet, la probabilité de \(\mathrm{B}\) est la somme de la probabilité de \(\left\lbrace 3\right\rbrace\), qui est \(\frac{1}5\) pour le premier dé, et de la probabilité de \(\left\lbrace 6\right\rbrace\). Or, pour le premier dé, nous ne pouvons avoir qu'une majoration de la probabilité de \(\left\lbrace 6\right\rbrace\). Cette majoration est que la probabilité de \(\left\lbrace6\right\rbrace\) est inférieure à \(\frac{11}{20}\), qui est la probabilité de \(\left\lbrace 4;5;6\right\rbrace\). Nous pouvons donc dire que, pour le premier dé, la probabilité de \(\mathrm{B}\) est inférieure à \(\frac{3}4\) \(\left(\frac{1}5+\frac{11}{20}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\right)\). Avec les informations dont nous disposons, nous ne pouvons pas savoir avec quel dé il est préférable de jouer si nous visons le bonus.

Cet exemple montre l'importance de formaliser l'information disponible. L'information disponible est l'ensemble des évènements dont nous pouvons calculer la probabilité. L'ensemble des évènements dont nous pouvons calculer la probabilité est la tribu. Pour le premier dé, la tribu est Nous pouvons calculer la probabilité des évènements \(\left\lbrace1;2\right\rbrace\) et \(\left\lbrace3\right\rbrace\) car elles sont données explicitement. A partir des probabilités de ces évènements, nous pouvons déduire celles des évènements \(\mathrm{D}=\left\lbrace1;2;3\right\rbrace\), \(\mathrm{V}=\left\lbrace4;5;6\right\rbrace\) et \(\left\lbrace3;4;5;6\right\rbrace\). L'évènement \(\varnothing\) est l'évènement qui n'est réalisé par aucune issue. Sa probabilité de réalisation est \(0\). \(\varnothing\) est l'évènement impossible. \(\Omega\) est l'évènement qui est réalisé par toutes les issues. Sa probabilité est \(1\). C'est l'évènement certain.

Pour le second dé, la tribu est \(\mathcal{P}\left(\Omega\right)\) est l'ensemble de tous les sous-ensembles de \(\Omega\), c'est-à-dire l'ensemble de tous les évènements que nous pouvons construire à partir des issues de \(\Omega\). Il contient bien évidemment \(\mathrm{D}\), \(\mathrm{V}\) et \(\mathrm{B}\). Pour le second dé, étant donné que nous avons la probabilité des évènements élémentaires c'est-à-dire des évènements \(\left\lbrace1\right\rbrace\), \(\left\lbrace2\right\rbrace\), \(\left\lbrace3\right\rbrace\), \(\left\lbrace4\right\rbrace\), \(\left\lbrace5\right\rbrace\), \(\left\lbrace6\right\rbrace\), nous pouvons calculer la probabilité de tous les évènements simplement par sommation.

La loi de probabilité

Nous avons maintenant l'ensemble des issues \(\Omega\) qui permet de définir les évènements dont nous souhaitons calculer la probabilité, la tribu \(\mathcal{T}\) qui est l'ensemble des informations à notre disposition. Le couple \(\left(\Omega\;;\;\mathcal{T}\right)\) est l'espace probabilisable. Il ne nous reste plus qu'à calculer les probabilités. Nous avons déjà parler du calcul de probabilité de façon intuitive. Maintenant, il s'agit de formaliser l'idée de probabilité.

Une loi de probabilité \(\mathbb{P}\) sur \(\left(\Omega\;;\;\mathcal{T}\right)\) est une application - c'est-à-dire une petite machine mathématique - qui associe à tout évènement de la tribu, un nombre entre \(0\) et \(1\). Mathématiquement, nous écrivons cela comme suit Cela se lit \(\mathbb{P}\) est l'application de la tribu \(\mathcal{T}\) dans l'intervalle \(\left[0;1\right]\) - c'est-à-dire l'ensemble des nombres entre \(0\) et \(1\) inclus - qui à un évènement \(\mathrm{E}\) de \(\mathcal{T}\) associe la probabilité \(\mathbb{P}\left(\mathrm{E}\right)\).

De plus, la loi de probabilité \(\mathbb{P}\) doit respecter deux conditions.

La première : En effet, comme nous l'avons dit, \(\Omega\) est un l'univers mais c'est aussi un évènement car il est inclus dans lui-même. \(\Omega\) est réalisé par toutes les issues. C'est-à-dire que peu importe la face sur laquelle le dé tombe, \(\Omega\) se réalise. C'est l'évènement certain et sa probabilité est maximale, donc égale à \(1\).

La seconde : la probabilité de l'union d'évènements deux à deux disjoints est la somme de leur probabilité.

Des évènements disjoints sont des évènements qui n'ont aucune issue en commun. Soit deux évènements \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\). Pour signifier que \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) sont disjoints, nous écrivons L'évènement noté \(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\) est appelé intersection des évènements \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) . \(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\) est réalisé par les issues réalisant à la fois \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\). Par exemple, les évènements \(\left\lbrace1;2\right\rbrace\) et \(\left\lbrace3;4;5;6\right\rbrace\) sont disjoints car ils ne sont pas réalisés par les mêmes issues. On écrit On dit que leur intersection est vide.

Mais les évènements \(\left\lbrace1;2\right\rbrace\) et \(\left\lbrace2;3;4\right\rbrace\) ne sont pas disjoints car ils ont l'issue \(2\) en commun. On écrit L'union d'évènements est l'évènement réalisé par les issues réalisant au moins un évènement constituant l'union. Par exemple, l'union des évènements \(\left\lbrace1;2\right\rbrace\) et \(\left\lbrace3;4\right\rbrace\) est L'union des évènements \(\left\lbrace1;2;3\right\rbrace\), \(\left\lbrace4\right\rbrace\) et \(\left\lbrace2;3;5\right\rbrace\) est Avec cela, nous pouvons calculer la probabilité du complémentaire d'un évènement \(\mathrm{A}\). Le complémentaire de \(\mathrm{A}\) dans l'univers \(\Omega\) est l'évènement noté \(\complement_\Omega\mathrm{A}\), ou \(\complement{\mathrm{A}}^\Omega\), ou plus simplement \(\complement\mathrm{A}\) ou \(\complement{\mathrm{A}}\) si aucune confusion n'est à craindre, et qui est réalisé par les issues qui ne réalisent pas \(\mathrm{A}\). Par exemple, si \(\Omega=\left\lbrace1;2;3;4;5;6\right\rbrace\) et \(\mathrm{A}=\left\lbrace1;2\right\rbrace\), alors \(\complement{\mathrm{A}}=\left\lbrace3;4;5;6\right\rbrace\).

Comment calculer la probabilité \(\mathbb{P}\left(\complement{\mathrm{A}}\right)\) lorsque nous connaissons la probabilité \(\mathbb{P}\left(\mathrm{A}\right)\). Utilisons les propriétés d'une loi de probabilité. Par définition du complémentaire, on a Donc et Alors, et En particulier, \(\varnothing=\complement{\Omega}\). Ce qui donne Nous retrouvons que l'évènement \(\varnothing\) n'étant réalisé par aucune issue, sa probabilité est nulle. \(\varnothing\) ne se réalise jamais. C'est l'évènement impossible.

Le triplet \(\left(\Omega\;;\;\mathcal{T}\;;\;\mathbb{P}\right)\) est l'espace probabilisé. C'est le cadre théorique de l'étude de toute expérience aléatoire. Ainsi, pour étudier un phénomène aléatoire, nous devons dans un premier temps bien définir l'expérience aléatoire qui nous intéresse. La définition de l'expérience aléatoire permet de définir l'univers, c'est-à-dire l'ensemble des issues. Une fois l'univers défini, nous regardons les conditions de l'expérience pour circonscrire l'ensemble des informations à notre disposition et définir la tribu. Ensuite, vient la définition de la loi de probabilité que nous utilisons. La loi de probabilité peut être trouvée avec les données de l'expérience ou un modèle déjà connu comme la loi gaussienne ou la loi exponentielle.

Petite analogie géométrique de la probabilité

Nous proposons dans cette section une petite analogie géométrique pour mieux saisir la notion de probabilité. Pour faire cetta analogie, tentons de calculer la probabilité de l'évènement \(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\) en fonction de la probabilité des évènements \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\). \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) peuvent être disjoints ou non.

Pour calculer la probabilité de \(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\), nous devons nous ramener aux propriétés de la loi de probabilité. Nous allons utiliser la seconde propriété appliquée à deux évènements. Cette seconde propriété nous dit que la probabilité de l'évènement \(\mathrm{E_1}\cup\mathrm{E_2}\), avec les évènements \(\mathrm{E_1}\) et \(\mathrm{E_2}\) vérifiant \(\mathrm{E_1}\cap\mathrm{E_2}=\varnothing\), est donnée par Dans notre cas avec \(\mathrm{A}\) et \(\mathbb{B}\), nous ne pouvons pas appliquer directement cette formule car, comme nous l'avons dit, rien ne nous dit que \(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}=\varnothing\). L'idée est de décomposer l'évènement \(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\) autrement qu'en faisant apparaître \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\).

Nous écrivons L'évènement \(\mathrm{A}-\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)\), qui se lit \(\mathrm{A}\) privé de \(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\) est l'évènement réalisé par les issus réalisant \(\mathrm{A}\) mais qui ne réalisent par \(\mathrm{B}\cap\mathrm{B}\).

Les évènements \(\mathrm{A}-\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)\) et \(\mathrm{B}\) sont disjoints. En effet, ils n'ont aucune issue en commun. Nous avons donc Calculons maintenant \(\mathbb{P}\left(\mathrm{A}-\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)\right)\). Nous pouvons décomposer l'évènement \(\mathrm{A}\) comme suit Nous avons alors D'où En injectant cette expression dans celle de \(\mathbb{P}\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\right)\), nous trouvons La démonstration de cette formule, comme nous l'avons vu, est assez astucieuse. Nous manipulons des écritures d'ensembles et les propriétés d'une loi de probabilité. En réalité, cette formule est intuitive. Et ce grâce à la petite analogie géométrique que nous allons donner. Nous avons un segment noir. Sur ce segment noir, deux portions sont colorées. Une première portion est colorée de vert et apparaît comme un segment est vert, l'autre comme un segment bleu. Le segment vert mesure \(2\;\mathrm{cm}\) et le segment bleu mesure \(3\;\mathrm{cm}\). Nous souhaitons connaître la longueur du segment, à l'origine noir, qui est colorée, de vert ou de bleu. Pour une portion \(P\) du segment noir, nous notons \(\lambda\left(P\right)\) - se lit lambda de P - sa longueur en \(\mathrm{cm}\). Nous notons \(V\) l'ensemble des points verts - c'est la première portion qui est le segment vert -, et \(B\) l'ensemble des points bleus - c'est la seconde portion qui est le segment bleu. Nous avons \(\lambda\left(V\right)=2\) et \(\lambda\left(B\right)=3\). Nous souhaitons calculer la longueur \(\lambda\left(V\cup B\right)\).

Si les deux segments de couleurs ne se chevauchent pas, la longueur cherchée est tout simplement la somme des longueurs des deux segments. C'est-à-dire En revanche, si les deux segments colorés se chevauchent, en sommant les longueurs des segments, nous comptons deux fois la portion commune aux deux segments. Cette partie commune est donnée par l'expression \(V\cap B\). Il faut donc la retirer une fois pour avoir la longueur de la partie colorée. Dans ce cas, si la longueur de chevauchement est \(0.5\;\mathrm{cm}\), nous avons Dans le cas où les segments ne se chevauchent pas, nous avons \(V\cap B=\varnothing\). \(\varnothing\) ne contient aucun point. Sa longueur est donc nulle : \(\lambda\left(\varnothing\right)=0\).

C'est exactement la même chose pour les probabilités. Nous pouvons considérer une probabilité comme une mesure des évènements. Simplement, cette mesure des évènements ne dépasse jamais \(1\) car elle est toujours ramenée à celle de l'univers.

Probabilités conditionnelles

Vous êtes en finale d'un jeu télé. Le présentateur vous met en face de trois portes. Derrière l'une de ces portes se cache une voiture. Derrière les deux autres se trouve une chèvre. L'animateur sait où est la voiture. Il vous propose de choisir une porte. Votre choix se porte sur la porte numéro 3. L'animateur ouvre ensuite une porte qui n'est ni celle que vous avez choisie, ni celle derrière laquelle se cache la voiture. L'animateur choisit d'ouvrir la porte numéro 2 et vous montre que derrière celle-ci se trouve une chèvre. Il vous laisse ensuite le choix : garder votre porte numéro 3 ou changer pour la porte numéro 1. Que devez-vous faire ?

Au début du jeu, vous avez une chance sur trois de choisir la bonne porte. Lorsque l'animateur vous montre que la porte numéro 2 n'est pas la bonne, vous devez faire un second choix avec une information supplémentaire. Cette information supplémentaire modifie-t-elle les probabilités ? Ou annule-t-elle l'équiprobabilité ? Si vous voulez faire un choix éclairé, il est intéressant de prendre en compte cette nouvelle information dans le calcul des probabilités. Pour cela, nous introduisons la notion de probabilités conditionnelles.

La probabilité conditionnelle permet de différencier la probabilité a priori de la probabilité a posteriori. Elle peut même nous permettre d'exprimer la seconde en fonction de la première.


Considérons un univers \(\Omega\) et deux évènements \(A\) et \(B\) de cet univers. Nous notons \(\mathbb{P}\) la loi de probabilités sur l'ensemble des évènements. La probabilité de l'évènement est \(B\) est \(\mathbb{P}\left(B\right)\). Maintenant, on vous dit que l'évènement \(A\) s'est réalisé. Quelle est la probabilité que \(B\) se réalise ? Il faut prendre en compte cette nouvelle information - c'est-à-dire la réalisation de \(A\). Il s'agit alors de calculer la probabilité de \(B\) sachant \(A\). Cette probabilité est notée \(\mathbb{P}\left(B\vert A\right)\), ou \(\mathbb{P}_A\left(B\right)\).

La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est donnée par

En effet, nous savons que l'évènement \(A\) s'est réalisé. Nous ne sommes donc plus interessé par l'entièreté de l'univers \(\Omega\). Seulement \(A\) nous intéressse. C'est comme si \(A\) était notre nouvel univers. Nous nous intéressons alors qu'aux éléments de \(B\) communs avec \(A\). D'où \(\mathbb{P}\left(B\cap A\right)\). La question qui vient maintenant est : pourquoi diviser par \(\mathbb{P}\left(A\right)\) ? La probabilité de l'univers est \(1\). \(A\) n'est pas l'univers à proprement parlé mais, depuis que nous savons que \(A\) s'est réalisé, c'est tout comme. La probabilité de référence n'est donc plus \(\mathbb{P}\left(\Omega\right)=1\) mais \(\mathbb{P}\left(A\right)\). \(\mathbb{P}\left(A\right)\) est en quelque sorte cette nouvelle unité.

Une analogie pour commencer

Cette explication "avec les mains" mérite d'être détaillée. Pour cela, nous allons d'abord faire une analogie, puis nous montrerons comment le quotient par \(\mathbb{P}\left( A\right)\) - ou plutôt le produit par \(\frac{1}{\mathbb{P}\left( A\right)}\) - arrive naturellement sur le plan théorique.

Commençons par l'analogie. Imaginons un parc. Ce parc a une superficie de \(1000\;\mathrm{m^2}\). Cela représente une zone \(P\). Sur ces \(1000\;\mathrm{m^2}\), \(400\;\mathrm{m^2}\) sont autorisés aux barbecues. L'espace autorisé aux barbecues représente une zone \(B\). Quelle est la proportion du parc qui est autorisée aux barbecues ? On fait \(\frac{\mathrm{Aire}\left(B\right)}{\mathrm{Aire}\left(A\right)}=\frac{400}{1000}=40\%\).

Maintenant, \(200\;\mathrm{m^2}\) du parc sont en travaux dont \(50\mathrm{m^2}\) de l'espace barbecue. L'espace en travaux est innaccessible aux visiteurs. La zone accessible du parc est notée \(A\). Quelle proportion du parc est accessible aux visiteurs qui veulent faire un barbecue ? Nous ne comptons plus la zone inaccessible. La proportion cherchée est donnée par \(\frac{350}{800}=43.75\%\). Nous ne nous intéressons qu'à la partie de l'espace barbecue accessible. C'est notre \(B\cap A\) et nous nous ramenons à la superficie accessible, à savoir \(A\). Nous avons fait \(\frac{\mathrm{Aire}\left(B\cap A\right)}{\mathrm{Aire}\left(A\right)}\).

Pour les probabilités, c'est pareil. Lorsque l'évènement \(B\) s'est réalisé, c'est comme si tout ce qui se trouve à l'extérieur de \(B\) nous était devenu inaccessible.

Et maintenant un peu de rigueur

L'analogie du parc est une explication pratique. Approchons la division par \(\mathbb{P}\left(A\right)\) de façon plus rigoureuse. Pour cela intéressons-nous à la fonction \(\pi_A=\mathbb{P}\left(\cdot\cap A\right)\) définie comme suit : avec \(A\neq\Omega\) et \(A\neq\varnothing\). \(\pi _A\) est une fonction qui va de \(\mathcal{P}\left(\Omega\right)\) dans \(\left[0;1\right]\). De plus, pour une famille d'évènements \(\left(B_i\right)_i\) deux-à-deux disjoints, on a La première égalité s'obtient par distributivité de l'union sur l'intersection, la seconde parce que les sous-ensembles \(B_i\cap A\) sont deux-à-deux disjoints.

La fonction \(\pi_A\) respecte la deuxième propriété des lois de probabilités. Cependant, elle ne vérifie pas la première. En effet, La fonction \(\pi_A\) n'est donc pas une loi de probabilité. Comment obtenir une loi de probabilité à partir de \(\pi _A\). Il faut multiplier \(\pi _A\) par une constante \(\alpha\) en choisissant \(\alpha\) de telle sorte que \(\alpha\pi_A\left(\Omega\right)=1\), c'est-à-dire Nous avons donc Nous obtenons alors la fonction \(\mathbb{P}_A=\mathbb{P}\left(\cdot\vert A\right)=\frac{\mathbb{P}\left(\cdot\vert A\right)}{\mathbb{P}\left(A\right)}\) définie par \(\mathbb{P}_A\) est une loi de probabilité. Il nous reste maintenant à interpréter la quantité \(\frac{\mathbb{P}\left(B\cap A\right)}{\mathbb{P}\left(A\right)}\). Appuyons-nous sur un arbre pondéré.

Cet arbre pondéré présente quatre chemins : \(A-B\), \(A-\complement{B}\), \(\complement{A}-B\), \(\complement{A}-\complement{B}\). Intéressons-nous au chemin \(A-B\). L'évènement au bout du chemin, marqué par le point, est \(B\cap A\) - nous pouvons aussi écrire \(A\cap B\). Sa probabilité est \(\mathbb{P}\left(B\cap A\right)\). Le premier segment du chemin \(A-B\) est pondéré de la probabilité \(\mathbb{P}\left(A\right)\). De plus, nous savons que, dans un arbre pondéré, la probabilité au bout du chemin est le produit des probabilités des segments qui constituent le ditchemin. Le deuxième segment est donc pondéré de la probabilité \(\frac{\mathbb{P}\left(B\cap A\right)}{\mathbb{P}\left(A\right)}\), c'est-à-dire \(\mathbb{P}\left(B\vert A\right)\). En regardant, la position de ce segment sur l'arbre, on voit que \(\mathbb{P}\left(B\vert A\right)\) correspond à la probabilité que \(B\) se réalise sachant que \(A\) s'est réalisé, soit la probabilité de \(B\) sachant \(A\).

La formule des probabilités totales

Avant de revenir à notre jeu télévisé, interressons-nous à un autre jeu. Vous avez dzux urnes devant vous. Ces urnes sont notées \(U_1\) et \(U_2\). \(U_1\) contient 4 boules noires et 6 boules blanches. \(U_2\) contient 5 boules noires et 3 boules blanches. Pour savoir de quelle urne sera tirée la boule, on lance un dé à 6 faces parfaitement équilibré. Le résultat du lancé vous est caché. Si on tombe sur 1 ou 2, on tire de la boule de l'urne \(U_1\). Si on tombe sur 3, 4, 5 ou 6, on tire la boule de l'urne \(U_2\). Le maître du jeu lance le dé sans vous montrer le résultat et tire une boule dans l'urne correspondant au résultat du jet de pile-ou-face. Il vous montre que la boule tirée est blanche. La question qui vous est posée est la suivante : de quelle urne cette boule provient-elle ? Si vous arrivez à donner la bonne urne, vous gagnez le jeu. Quelles sont vos chances de victoire si vous répondez \(U_2\) ? Pour le savoir, calculons \(\mathbb{P}\left(U_2\vert B\right)\).

Nous savons que Pour calculer cette probabilité, aidons-nous d'un arbre pondéré. \(\mathbb{P}\left(U_2\cap B\right)=\frac{2}{3}\times\frac{3}{8}=\frac{1}4\). Calculons \(\mathbb{P}\left(B\right)\).

La probabilité de tirer une boule blanche est Alors, la probabilité conditionnelle cherchée est Nous voyons que la répartition des probabilités est plus équilibrée. Ainsi, en considérant l'information la boule tirée est blanche, nos chances de victoire chute de \(66.7\%\) à \(55.6\%\).

Arrêtons-nous un instant sur la calcul de \(\mathbb{P}\left(B\right)\). Pour calculer \(\mathbb{P}\left(B\right)\), nous avons fait la somme, En faisant intervenir les probabilités conditionnelles, nous pouvons écire Nous pouvons généraliser ce calcul. Soit un univers \(\Omega\). Soit \(n\) évènements \(A_1,A_2,\cdots ,A_n\) tous non vides de \(\Omega\) tels que \(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_2=\Omega\) et \(A_i\cap A_j=\varnothing\) pour tout \(i\neq j\). On dit que la famille d'évènements \(\left(A_i\right)_i\) est un système complet d'évènements ou une partition de \(\Omega\). Soit \(B\) un autre évènement de \(\Omega\). Alors C'est la formule des probabilités totales.

Soit un univers \(\Omega\) et une partition \(\left(A_i\right)_{1\leq i\leq n}\) de \(\Omega\). Soit \(B\) un évènement de \(\Omega\). Alors,

Formule de Bayes et grand final

La formule précédente, combinée à la définition des probabilités conditionnelles, nous permet d'exprimer la probabilité a posteriori \(\mathbb{P}\left(A_j\vert B\right)\) en fonction de la probabilité a priori \(\mathbb{P}\left(A_j\right)\). On a C'est la formule de Bayes.

Nous pouvons maintenant calculer la probabilité de gagner la voiture. Rappelons que nous avons choisi la porte 3 et que l'animateur nous a montré qu'il y avait une chèvre derrière la porte 2. Devons nous garder notre porte ou changer pour la porte 1 ? Notons \(V_1\) l'évènement La voiture est derrière la porte 1, \(V_2\) La voiture est derrière la porte 2 et \(V_3\) La voiture est derrière la porte 3. Notons aussi \(A_1\), \(A_2\) et \(A_3\), les évènements L'animateur montre la porte 1, L'animateur montre la porte 2, L'animateur montre la porte 3, respectivement. Il s'agit de calculer la probabilité \(\mathbb{P}\left(V_3\vert A_2\right)\). \(\mathbb{P}\left(V_3\right)=\frac{1}3\). \(\mathbb{P}\left(A_2\vert V_3\right)\) est la probabilité que l'animateur ouvre la porte 2 sachant que la voiture est derrière la porte 3. \(\mathbb{P}\left(A_2\vert V_3\right)=\frac{1}2\). En effet, étant donné que nous avons choisi la porte 3, si la voiture est derrière la porte 3, l'animateur peut ouvrir la porte 1 ou la porte 2.

Ensuite, il faut calculer \(\mathbb{P}\left(A_2\right)\). \(\mathbb{P}\left(A_2\vert V_1\right)\) est la probabilité que l'animateur ouvre la porte 2 alors que la voiture est derrière la porte 1. Il ne va pas ouvrir la porte 3 car c'est celle que nous avons choisi. Il ne peut pas non plus ouvrir la porte 1 car c'est celle derrière laquelle se cache la voiture. Il ouvrira donc forcément la porte 2. D'où \(\mathbb{P}\left(A_2\vert V_1\right)=1\).

\(\mathbb{P}\left(A_2\vert V_2\right)=0\). En effet, si la voiture est derrière la porte 2, il ne va pas ouvrir la porte 2.

On a donc D'où La probabilité que la voiture soit derrière la porte 3 sachant que l'animateur a montré ce qui se cachait derrière la porte 2 est donc \(\frac{1}3\). Rappelons que \(\mathbb{P}\left(\cdot\vert A_2\right)\) est une loi de probabilité. Donc \(\mathbb{P}\left(\complement{V_3}\vert A_2\right)\) correspond à \(\mathbb{P}\left(V_1\vert A_2\right)\). La probabilité que la voiture soit derrière la porte 1 sachant que l'animateur a montrer ce qui se trouvait derrière la porte 2 est donc \(\frac{2}3\). Il y a donc deux fois plus de chances de gagner le jeu en changeant de porte qu'en gardant celle que nous avons choisi. A posteriori, nous ne sommes plus dans une situation d'équprobabilité.